作业帮已知a.b都为实数且a+b=1求证：根号a+1/2+根号b+1/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 23:52:49
已知a.b都为实数且a+b=1求证：根号a+1/2+根号b+1/2
已知a.b都为实数且a+b=1求证：根号a+1/2+根号b+1/2
已知a.b都为实数且a+b=1求证：根号a+1/2+根号b+1/2
证明：a+b=1,sqrt(a+1/2)+sqrt(b+1/2)中a,b的地位是等同的故取得极值是a=b=1/2
且为唯一的极值.经验证不难发现此极值为极大值.
所以max(sqrt(a+1/2)+sqrt(b+1/2))=2
所以sqrt(a+1/2)+sqrt(b+1/2)
在恒等式（x+y）平方小于等于2（x平方+y平方）里，让x=根号a+1/2，y=根号b+1/2代进去计算就可以了
显然a+1/2≥0, 且b+1/2≥0
故由平均值不等式得
[√(a+1/2)+√(b+1/2)]²=a+b+1+2√(a+1/2)(b+1/2)≤2+(a+b+1)=4
∴√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2
当a+1/2=b+1/2, 即a=b=1/2时取等号
设c加d 等于2,证根号c 加根号d小于等于2就行了,因为那个命题是包含在这个命题中的,这个命题可以用函数求导确定极值.
根号a+1/2=x >=0
根号b+1/2=y >=0
(x^2-1/2)+y^2-1/2=1
x^2+y^2=2
x+y=k>=0
2x^2+k^2-2kx-2=0
4k^2-16<=0
-2=
1=ab>=2倍根号ab ab<=1/4 (a+1/2)(b+1/2)=a/2+b/2+ab+1/4<=1
根号(a+1/2)(b+1/2)<=1 2倍根号(a+1/2)(b+1/2)<=2
[根号(a+1/2)+根号(b+1/2)]^2=a+1/2+2倍根号(a+1/2)(b+1/2)+b+1/2<=4
根号(a+1/2)+根号(b+1/2)<=2