求关于蝴蝶定理的椭圆解析几何题（高2）水平

求关于蝴蝶定理的椭圆解析几何题（高2）水平
求关于蝴蝶定理的椭圆解析几何题（高2）水平

求关于蝴蝶定理的椭圆解析几何题（高2）水平
蝴蝶定理及其对高中解析几何的启示

申明：数学符号与公式显示故障,需要完整论文的读者可以与我联系（blue-eutopia@live.cn）
摘要：
本文主要向读者介绍了蝴蝶定理的背景和一些典型的证明方法,并从一道高考题的证明过程中,总结出它对高中解析几何学的一些启示.
关键词：
二次曲线,射影几何,三点共线问题
名词解释：
二次曲线：
平面直角坐标系中x,y的二次方程所表示的图形的统称.常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线.因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到.
直线上三个点的单比：（AB,C）=
直线上四个点的复比（交比）：（AB,CD）=
正文：
一、蝴蝶定理的发展历程简介：
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.

1969年,查克里恩从订立的定理考虑,给出蝴蝶定理的逆定理：
任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆.
1985年,蝴蝶定理传入中国.
接着,中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点,有蝴蝶定理的坎迪形式.
同年,我国数学教育者马明在论文中指出,将蝴蝶定理弦AB上的M点,拓广到弦AB外,蝴蝶定理仍然有成立之处.
接下来,蝴蝶定理的研究出现了一个高潮,人们发现,不仅仅是圆,任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式,例如,椭圆中的蝴蝶定理.
1990年,出现了筝形蝴蝶定理,并发现,蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用.
关于蝴蝶定理的证明,仅在初等几何的范围内,就有多达50多种证法,譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等.
至于高等几何的证明方法也有很多种,其中最为简洁的,当推用射影几何的方法,在下文中将会给予介绍.
二、蝴蝶定理的若干证明：
初等几何法：
证明：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,
连接OX,OY,OM,SM,MT.
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD,BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O,S,X,M四点共圆
同理,O,T,Y,M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ,
∵OM⊥PQ
∴XM=YM

射影几何法：
命题：
设L是一条二次曲线,弦AB,CD,相交于O,弦EF交AB于S,交CD于R,交AC于P,交BD于Q,则：
|ER|=|SF| |PR|=|SQ| |EP|=|QF|
证明：
由二次曲线的射影理论可知交比（ES,PB）
=（EQ,RF）,所以：
即：
（1）
若|ER|=|SF|,则由（1）得
所以|EP|=|QF|,|PR|=|SQ|.
即
同理可证：
故：
（其中,若二次曲线L是圆,且点R,S与点O重合,则命题就是所谓的蝴蝶定理）

三、北京数学高考题对高中解析几何教学的启示：
椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b＞r＞0）.
（Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4＞0）.
求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.
求证： | OP | = | OQ |.
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

（Ⅰ）、（Ⅱ）略
（Ⅲ）
证明：
设点P（p,o）,点Q（q,o）.
由C,P,H共线,得
(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
解得
P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)
由D,Q,G共线,
同理可得
q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得：
x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：
(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
所以 |p|=|q|,即,|OP|=|OQ|.

本题是北京市数学高考题中非常经典的题目.命题人巧妙的将著名的蝴蝶定理“嫁接”到了椭圆中,让学生充分领悟到数学美的所在,用心良苦.
然而本题的第三小题却让许多学子乃至优秀的尖子生望而却步,传统的假设点坐标,代入椭圆方程联立求解的方法在这里显得十分笨拙,运算量很大.仔细推敲后发现,本题实际上考察到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式,用到的不过是解析几何中的最基本的方法.
翻阅教材,笔者发现,教材中许多课后习题都涉及到了三点共线的问题,尽管题目相对容易,但是却充分体现了数学的思想方法.而且,不少题可以用多种方法求解,十分有益于学生开拓思维.
一个蝴蝶定理,一个椭圆中的三点共线问题,可以把解析几何的许多重点知识、基础知识充分调动起来,组织起来,可以用平面间两点的距离公式,可以运用定比分点公式,还可以应用过两点的斜率公式.
遗憾的是,恰恰就是这样一个重要的问题,却被现在的高中学生和高中教师所忽视.许多重点中学的师生,对高中数学课本的习题不屑一顾,很少钻研教材中的例题、习题,去寻求与发现知识之间的内在联系,去总结解题的原则、思路和规律.各种各样的复习资料,各种各地的模拟试卷,使得高中学生深陷题海难以自拔.无形之中,扼杀了学生的创造力,扼杀了学生对数学美,几何美的最本质的认识,扼杀了学生学习数学的兴趣.
就是这样一道考题,却折射出现在中学素质教育所存在的种种弊端,如何解放思想,勇敢大胆的改革“题海战术”,也许这道题能带给教育工作者一些反思和启示

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