作业帮直线的交点坐标与距离公式 (14 9:35:21)已知点A（2,5）,B（4,-1）,试在y轴上求一点P,使｜PA｜+｜PB｜的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:00:14
直线的交点坐标与距离公式 (14 9:35:21)已知点A（2,5）,B（4,-1）,试在y轴上求一点P,使｜PA｜+｜PB｜的最小值
直线的交点坐标与距离公式 (14 9:35:21)
已知点A（2,5）,B（4,-1）,试在y轴上求一点P,使｜PA｜+｜PB｜的最小值
直线的交点坐标与距离公式 (14 9:35:21)已知点A（2,5）,B（4,-1）,试在y轴上求一点P,使｜PA｜+｜PB｜的最小值
做A关于y轴的对称点A',易知A'(-2,5)
连接A'B,与y轴有一个交点,该交点就是所求的P点
证明：当p点在其他任意位置时,设其为P'点
根据对称性：AP=A'P
那么PA+PB=PA'+PB=A'B
当P位于P'处,AP'=A'P'
P'A+P'B=A'P'+BP'
此时根据三角形两边之和大于第三边可知：A'P+P'B>A'B
既然P'位置是任意,那么就是说除去P点位置,其他位置处的P'点都使得P'A+P'B比PA+PB大
那么P就是使PA+PB最小的点
求P点：A'(-2,5),B(4,-1)
直线斜率k=(-1-5)/(4+2)=-1
所以直线方程：y=-(x+2)+5,即y=-x+3
所以P（0,3）
做A点关于Y轴对称的点A’（-2，-5）
则PA=PA'
要使绝对值PA加绝对值PB最小
则PA'+PB也最小
只有当A',P,B在同一条走线上时，PA'+PB也最小
设过P点的直线方程为：
y=kx+b
则：y 过A'(-2.-5),B(4,-7)
代入求得直线方程：
y=-1/3x-17/3
x=0,y=-17...
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做A点关于Y轴对称的点A’（-2，-5）
则PA=PA'
要使绝对值PA加绝对值PB最小
则PA'+PB也最小
只有当A',P,B在同一条走线上时，PA'+PB也最小
设过P点的直线方程为：
y=kx+b
则：y 过A'(-2.-5),B(4,-7)
代入求得直线方程：
y=-1/3x-17/3
x=0,y=-17/3
所以点P(0,-17/3)
收起
两点之间，直线最短，Y轴为对称轴，做A 的对称点，A`..将A`和B连起来，与Y轴的交点就是所求点 。。
A`=(-2,5)带入直线方程。得到A`B：Y=-X+3
再把（0.Y）代入方程，得到Y=3
P:(0,3)
因为A、B在y轴同侧，故需先找其中一点的对称点，使与另一点分居两侧。
设A关于y轴对称点位A'，则A'为（-2，5）
则|PA|=|PA'|，｜PA｜+｜PB｜的最小值即|A'B|
分别由A'、B向y轴作垂线，由两直角三角形相似及横向直角边的边长比例为1：2，可知P的纵坐标为5-1/3*[5-(-1)]=3
故P为（0，3）
｜PA｜+｜PB｜的最小值为√[...
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因为A、B在y轴同侧，故需先找其中一点的对称点，使与另一点分居两侧。
设A关于y轴对称点位A'，则A'为（-2，5）
则|PA|=|PA'|，｜PA｜+｜PB｜的最小值即|A'B|
分别由A'、B向y轴作垂线，由两直角三角形相似及横向直角边的边长比例为1：2，可知P的纵坐标为5-1/3*[5-(-1)]=3
故P为（0，3）
｜PA｜+｜PB｜的最小值为√[(-2-4)^2+(5+1)^2]=6√2
补充：此题若是A、B在P所在直线的异侧，则可直接求|AB|；在同侧，则应先找其中一点的对称点。
收起
作A点关于y轴的对称点A',连接BA'交y轴的交点，就是P点。（也可类似做B点的对称点，答案一样）