作业帮一道数论竞赛题5^x+15^y=17^z 求整数解（x,y,z）8^x+15^y=17^z 求整数解（x,y,z）打错了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 23:31:32
一道数论竞赛题5^x+15^y=17^z 求整数解（x,y,z）8^x+15^y=17^z 求整数解（x,y,z）打错了
一道数论竞赛题
5^x+15^y=17^z 求整数解（x,y,z）
8^x+15^y=17^z 求整数解（x,y,z）
打错了
一道数论竞赛题5^x+15^y=17^z 求整数解（x,y,z）8^x+15^y=17^z 求整数解（x,y,z）打错了
解 如果（x,y,z）是原方程的一组整数解,则8^x+15^y=17^z（1）
由17被8除余1,得17^z被8除也余1,故由（1）知8^x+15^y被8除余1,再由8^x能被8整除,故得15^y被8除余1,于是得y必是偶数,由（1）得
得8^x=(16+1)^z-(16-1)^y,(16+1)^z-(16-1)^y能被16整除,故8^x也能被16整除,于是x也是偶数,由x,y为偶数可知8^x能被64整除,15^y被64除余1,故由（1）可知17^z被64除余1,故z也是偶数.
设x=2a,y=2b,z=2c,其中a,b,c均为正整数,则(8^a)^2+(15^b)^2=(17^c)2,
(8^a)^2=(17^c)^2-(15^b)^2=(17^c-15^b)*(17^c+15^b）,
即2^(6a)=(17^c-15^b)*(17^c+15^b）,该式左边是2的乘幂,故存在非负整数k
x=2,y=2,z=2
勾股定理的一些必备的常识：
3，4，5（倍数可约简不计）
5，12，13
8，15，17
7，24，25
9，40，41
11，60，61
…… Ps:好久不碰，容我想想
就本题分析，由于15，17互质，故解必不会为负值
同时0也不满足，故解必为正整数
不管怎样，你至少要知道有（2，2，2）这组解
下面开始证...
全部展开
勾股定理的一些必备的常识：
3，4，5（倍数可约简不计）
5，12，13
8，15，17
7，24，25
9，40，41
11，60，61
…… Ps:好久不碰，容我想想
就本题分析，由于15，17互质，故解必不会为负值
同时0也不满足，故解必为正整数
不管怎样，你至少要知道有（2，2，2）这组解
下面开始证明它的唯一性
假设它有另一组解为：
x=2+a,y=2+b,z=2+c
(a,b,c均为正整数) 因为(1，1，1)或者(1，2，1)类似的都不满足
待续……
收起
8^x+15^y=17^z
两边mod8,得(-1)^y==1mod8,y==0 mod 2
两边mod3,得(-1)^x==1mod 3,x==0 mod 2
原方程等价于64^X+225^Y=17^z,X=x/2,Y=y/2
两边mod5得(-1)^X==2^zmod5
两边mod 17得(-4)^X+4^Y==0 mod 17
两边mod 7得2==3^z mod 7,z==2 mod 6
再令Z=z/2...
一，由勾股定理的知识，易得
x=y=z=2
二，8^x+15^y=17^z 可写成
2^3x+15^y=17^z 则
易得x=1/3 y=z=1
综上，得x=y=z=2 或 x=1/3 y=z=1
不可能！
左式的个位不是0就是5 而右式的个位只能是1，3，7，9 恒不等
那就很简单了。。
2 2 2