作业帮抛物线y=ax方+bx+c交x轴于AB两点,交y于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3)在抛物线的对称轴上是否存在一店P,使P到B,C两点距离之差最大?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 11:38:45
抛物线y=ax方+bx+c交x轴于AB两点,交y于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3)在抛物线的对称轴上是否存在一店P,使P到B,C两点距离之差最大?
抛物线y=ax方+bx+c交x轴于AB两点,交y于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3)
在抛物线的对称轴上是否存在一店P,使P到B,C两点距离之差最大?
抛物线y=ax方+bx+c交x轴于AB两点,交y于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3)在抛物线的对称轴上是否存在一店P,使P到B,C两点距离之差最大?
由于1=-b/(2a),再代入B(3,0)、C(0,-3)坐标,得a=1,b=-2,c=-3
所以抛物线方程为：y=x²-2b-3
则A(-1,0)
设P点坐标为(1,m),则
|PB|=√(4+m²)
|PC|=√(1+(m+3)²)=√(m²+6m+10)
令f(m)=|PB|-|PC|=√(4+m²)-√(m²+6m+10)
求导：f'(m)=1/2*(2m)/√(4+m²)-1/2*(2m+6)/√(m²+6m+10)
令f'(m)=0,得：(2m)/√(4+m²)=(2m+6)/√(m²+6m+10)
m*√(m²+6m+10)=(m+3)*√(4+m²)
两边平方得：m²(m²+6m+10)=(m²+6m+9)(m²+4)
m^4+6m³+10m²=m^4+6m³+9m²+4m²+24m+36
整理：m²+8m+12=0
所以：(m+2)(m+6)=0
即：函数f(x)在m=-2和m=-6时取得极值
当m=-2时,|PB|=√(4+m²)=2√2,|PC|=√(1+(m+3)²)=√2
此时B、P、C三点共线,|PB|-|PC|=√2
(此点并非函数|f(x)|的最小值)
当m=-6时,|PB|=√(4+m²)=2√10,|PC|=√(1+(m+3)²)=√10
此时APC三点共线,|PB|-|PC|=√10为|f(x)|最大值
另在函数式f(x)中当m=-2时,既不是极大值,又不是最小值,为什么?还有f(x)无法表达出当P(1,-1)时,实际为|PB|=|PC|=√5,即|f(x)|=0为最小值的情况,希望高手指点!