作业帮又来求救啦!线性代数! 设a是非齐次线性方程组Ax=b的一个解 , t1,.t(n-r) 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：1. a,t1,.t(n-r)线性无关；2. a, a+t1,. a+t(n-r) 线性无关
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:03:16
又来求救啦!线性代数! 设a是非齐次线性方程组Ax=b的一个解 , t1,.t(n-r) 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：1. a,t1,.t(n-r)线性无关；2. a, a+t1,. a+t(n-r) 线性无关
又来求救啦!线性代数! 设a是非齐次线性方程组Ax=b的一个解 , t1,.t(n-r) 是对应的齐次线性方程组
的一个基础解系.
证明：
1. a,t1,.t(n-r)线性无关；
2. a, a+t1,. a+t(n-r) 线性无关
又来求救啦!线性代数! 设a是非齐次线性方程组Ax=b的一个解 , t1,.t(n-r) 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：1. a,t1,.t(n-r)线性无关；2. a, a+t1,. a+t(n-r) 线性无关
证明:由已知α1,.α(n-r)线性无关.
且 Aβ=b≠0,Aαi=0,i=1,2,...,n-r
(1) 设 kβ+k1α1+...+k(n-r)α(n-r)=0
用A左乘上式两边得
kAβ+k1Aα1+...+k(n-r)Aα(n-r)=0
所以有 kAβ = 0,即有 kb=0
而 b≠0,所以 k = 0.
代入原式得 k1α1+...+k(n-r)α(n-r)=0
再由α1,.α(n-r)线性无关得 k1=k2=...=k(n-r)=0
所以 k=k1=k2=...=k(n-r)=0.
所以 β,α1,...,α(n-r) 线性无关.
(2) 设 kβ+k1(β+α1)+...+k(n-r)(β+α(n-r))=0
[又来了,老一套哈!]
则 (k+k1+...+k(n-r))β+k1α1+...+k(n-r)α(n-r)=0
由(1),β,α1,...,α(n-r) 线性无关
所以 k+k1+...+k(n-r)=k1=k2=...=k(n-r)=0.
所以有 k=k1=k2=...=k(n-r)=0.
所以 β,β+α1,...,β+α(n-r) 线性无关.
[哈,简单吧.别看写这多,掌握思路就简单了]
1.假定他们线性相关，因为(t1,...,t(n-r))线性无关，所以a一定可以由ti线性表述
所以存在不全为0的系数ci满足a=c1 t1 + c2t2 +...+c(n-r)t(n-r)
Aa= c1 At1 +c2At2 +... + c(n-r)At(n-r) =0
但是a是Ax=b的根，所以Aa=b所以矛盾，所以必然线性无关
2。这个由1）可以直接推导出来...
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1.假定他们线性相关，因为(t1,...,t(n-r))线性无关，所以a一定可以由ti线性表述
所以存在不全为0的系数ci满足a=c1 t1 + c2t2 +...+c(n-r)t(n-r)
Aa= c1 At1 +c2At2 +... + c(n-r)At(n-r) =0
但是a是Ax=b的根，所以Aa=b所以矛盾，所以必然线性无关
2。这个由1）可以直接推导出来
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