已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 12:20:38
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数

已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx
(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间
(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.
(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围.

已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数
(1)y=xlnx-2x y'=lnx+1-2=lnx-1 令y'=0 x=e 0=0在[1,+无穷）上恒成立 1/2ax^2+2x>=0 1/2ax^2>=-2x a>=-4/x 所以 a>=0
(3)lnx/x=ax+2-2a-1 lnx=ax^2-(1-2a)x ax^2+(1-2a)x-lnx=0 令F(x)= ax^2+(1-2a)x-lnx
F'(x)=2ax+1-2a-1/x 令F'(x)=0 x=2a-1/2a 因为x>0 所以2a>1 a>1/2
可知x=2a-1/2a是F(x)的极小值点 若有且只有2个不相等的实数根 只需 F（2a-1/2a）

h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x) 1-2=ln(x)-1,
0x>e时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
f(x)=ax^2/2 2x,
x>=1时,f'(x)=ax 2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a<0时,

全部展开

h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x) 1-2=ln(x)-1,
0x>e时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
f(x)=ax^2/2 2x,
x>=1时,f'(x)=ax 2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a<0时,
f'(x)=ax 2>=0,
ax>=-2,
ax>=-2>=-2x, a>=-2.
a的取值范围是a>=-2.
g(x)/x=ln(x)/x = f'(x)-(2a 1)=ax 2-(2a 1)=ax-2a 1, x>0.
ln(x)=ax^2 (1-2a)x,
s(x)=ln(x) - ax^2 (2a - 1)x,
1/e0.
s'(x)=1/x - 2ax 2a-1 = [-2ax^2 (2a-1)x 1]/x = [-2ax-1][x-1]/x = (2ax 1)(1-x)/x,
1/e0, s(x)单调递增. s(1/e)e>x>1时,s'(x)<0, s(x)单调递减. s(1)>s(x)>s(e).s(x)在e>x>1上至多有1个实根.
s(1/e)=-1-a/e^2 (2a-1)/e = [(2a-1)e-a-e^2]/e^2 = [a^2 - (a-e)^2 - a - e]/e^2 .
s(e)=1-ae^2 (2a-1)e=1-e ae(2-e)<0.
s(1)=a-1.
要使得s(x)在1/e0, s(1/e)<0.
也即,
a>1,
0>(2a-1)e-a-e^2=a(2e-1)-e-e^2,
e e^2>a(2e-1),
a<(e e^2)/(2e-1).
(e e^2)/(2e-1)>(e e)/(2e-1)>(2e-1)/(2e-1)=1.
1

收起

已知x∈R+ ,函数 f(x)=ax^2+2ax+1,若f(m) 已知函数f(x)=x^2-ax+4,x∈[-3,-1],若f(x) 已知函数f(x)=ax-a/x-2lnx 高中数学已知函数f(x)=ax^2+x--a.解不等式f（x)>1 已知函数f(x)=ax/(x^2+1)+a,求f(x)的单调区间 已知函数f(x)=ln(1+x^2)+ax,讨论f(x)的单调性 已知函数f(x)=x^+ax,g(x)=2^x-a,且1/2 已知函数f(x)={x^2+ax+1,x≧1.ax^2+x+1,x 已知函数f(x)=x^3+ax^2+x+1,讨论函数f(x)的单调区间 已知函数f(x)=e^x(x^2+ax+1).求函数f(x)的极值 已知函数f（x）=ax^2+4ax-4,若对于x∈【-3,-1】,f（x） 已知函数f(x)=ax/2x-1满足f[f(x)]=x,求实数a的值 函数题解已知函数f(x)=ax^2+bx+1(ab为实数),设F(x)={f(x),(x>0)},{-f(x),(x 已知二次函数f(x)=ax^2-bx+1,(1)若f(x) 已知函数f(x)=x^2-ax+1且f(1)的绝对值 已知函数f(x)=(x^2+c)/(ax+b)为奇函数,f(1) 已知函数f(x)=(x^2+c)/(ax+b)为奇函数,f(1) 已知函数f(x)=（x^2+c)/(ax+b)为奇函数,f(1)