求和Sn=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4……+nx^n-1

求和Sn=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4……+nx^n-1
求和
Sn=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4……+nx^n-1

求和Sn=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4……+nx^n-1
Sn=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4……+nx^n-1
两端同乘 x
x * Sn = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + …… +(n-1)*x^(n-1) + nx^n
两式相减
Sn - x Sn = 1 + (2x -x) + (3x^2 - 2x^2) + (4x^3 - 3x^3) + …… +[nx^(n-1) - (n-1)*x^(n-1)] - nx^n
(1-x)Sn = 1 + x + x^2 + x^3 + …… + x^(n-1) - nx^n
= (1 - x^n)/(1 -x) - nx^n

Sn = (1 - x^n)/(1-x)^2 - nx^n/(1-x)

这个是高二的数列题，要用错位相加法做的，啥时是高一的了？我要知道你们是不是数列的都教了，否则不会做的

写出n*Sn
然后错位相减。。。

Sn=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4……+nx^(n-1)
xSn=x+2x^2+3x^3+……+nx^n
两式相减
（1-x）Sn=1+x+x^2+x^3+……+x^(n-1)-nx^n
=(1-x^n)/(1-x)-nx^n
所以Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)

(x-1)Sn=x+2x^2+3x^3+...+nx^n-(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4……+nx^n-1)
=nx^n-(1+x+x^2+..+x^n-1)
=nx^n-(1-x^n)/(1-x)
Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)

这是最巧妙的解法啦~~~~~~~~~~
右边＝f'(x), 其中f(x)=1+x+x^2+……+x^n=[1-x^(n+1)]/(1-x)
用此求和后的式子对f(x)求导
f'(x)={-(n+1)x^n(1-x)+[1-x^(n+1)]}/(1-x)^2
=[-(n+1)x^n+n*x^(n+1)+1]/(1-x)^2
=Sn