作业帮已知圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 证明：无论m为何实数,直线和圆横交于两点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 16:39:25
已知圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 证明：无论m为何实数,直线和圆横交于两点
已知圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 证明：无论m为何实数,直线和圆横交于两点
已知圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 证明：无论m为何实数,直线和圆横交于两点
解,本题最简单做法,
思路：求出直线恒过一点,只要证明这一点在圆内,那么直线肯定与圆有两个交点.
直线L恒过点（3,1）
那么点（3,1）在圆C内,
因此,无论m为何值,直线与圆肯定有两个交点.
提示：只要证明圆心到直线距离<半径即可。
证：
圆心坐标(1，2)，半径r=√25=5
圆心到直线距离
d=|(2m+1)×1+(m+1)×2-7m-4|/√[(2m+1)²+(m+1)²]
=|3m+1|/√(5m²+6m+2)
d²=(3m+1)²/(5m²+6m+2)
=(9m...
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提示：只要证明圆心到直线距离<半径即可。
证：
圆心坐标(1，2)，半径r=√25=5
圆心到直线距离
d=|(2m+1)×1+(m+1)×2-7m-4|/√[(2m+1)²+(m+1)²]
=|3m+1|/√(5m²+6m+2)
d²=(3m+1)²/(5m²+6m+2)
=(9m²+6m+1)/(5m²+6m+2)
=(1/5)(45m²+30m+5)/(5m²+6m+2)
=(1/5)(45m²+54m+18-24m-13)/(5m²+6m+2)
=9/5- (24m+13)/(5m²+6m+2)
≤9/5<25
d²
收起
∵（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=2mx+x+my+y-7m-4
=m(2x+y-7)+（x+y-4）=0
∴（联立方程组）2x+y-7=0 x+y-4=0
(解得)x=3 y=1
∴直线L恒过点（3,1）
∵点（3,1）在圆O内
∴无论m为何实数，直线和圆恒交于两点