直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1于M,N两点,B(0.,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰好是椭圆的右焦点F,求直线L的方程

直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1于M,N两点,B(0.,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰好是椭圆的右焦点F,求直线L的方程
直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1于M,N两点,B(0.,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心
恰好是椭圆的右焦点F,求直线L的方程

直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1于M,N两点,B(0.,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰好是椭圆的右焦点F,求直线L的方程
首先要知道三角形的重心坐标公式：
若三角形ABC三个顶点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),
则其重心G（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3）；
下面解题：
易得B(0,4),右焦点F(2,0)；设点M(x1,y1),点N(x2,y2)；
∵F为△BMN的重心,
则：(x1+x2)/3=2,(y1+y2+4)/3=0
∴x1+x2=6,y1+y2=-4；
若直线L的斜率不存在,则其与抛物线的两个交点M,N纵坐标应该是互为相反数的,
而现在y1+y2=-4,所以直线L的斜率必然存在,设直线L的方程为y=kx+b；
y1=kx1+b,y2=kx2+b；
y1+y2=k(x1+x2)+2b
∵x1+x2=6,y1+y2=-4；
∴6k+2b=-4,即：b=-3k-2；
∴直线L：y=kx-3k-2；
与椭圆联列方程组：y=kx-3k-2,x²/20+y²/16=1；
消去y,得关于x的二次方程：(k²+4/5)x²-2k(3k+2)x+9k²+12k-12=0
由韦达定理,x1+x2=2k(3k+2)/(k²+4/5)=6；
解得：k=6/5；
∴直线L：y=6x/5-28/5
如果不懂,请Hi我,

由a^2=20 ，b^2=16 ，c^2=a^2-b^2=4 得椭圆右焦点为（2，0），
设直线 L 的方程为 y=kx+b ，并设M（x1，y1），N（x2，y2），
代入得 x^2/20+(kx+b)^2/16=1 ，
化简得 (5k^2+4)x^2+10kbx+5b^2-80=0 ，
则 x1+x2= -10kb/(5k^2+4) ，因此 y1+y2=k(x1...

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由a^2=20 ，b^2=16 ，c^2=a^2-b^2=4 得椭圆右焦点为（2，0），
设直线 L 的方程为 y=kx+b ，并设M（x1，y1），N（x2，y2），
代入得 x^2/20+(kx+b)^2/16=1 ，
化简得 (5k^2+4)x^2+10kbx+5b^2-80=0 ，
则 x1+x2= -10kb/(5k^2+4) ，因此 y1+y2=k(x1+x2)+2b= 8b/(5k^2+4) ，
根据已知条件，x1+x2+0=3*2=6 ，y1+y2+4=3*0=0 ，
因此 -10kb/(5k^2+4)=6 ，8b/(5k^2+4)= -4 ，
解得 k=6/5 ，b= -28/5 ，
因此所求直线方程为 y= 6/5*x-28/5 。（也可化为 6x-5y-28=0）

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