作业帮在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f（x）=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 07:58:56
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f（x）=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f（x）=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点N
P作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f（x）=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
解析,设p点得坐标为（a,b）,那么,b=e^a
过p点的直线L的斜率为e^a,过p点垂直于L的直线的斜率为-1/(e^a)
因此,直线L方程为y-b=(x-a)*e^a.
当x=0时,y=b-a*e^a=(1-a)*e^a,故,要分两种情况,01.
①当01时,此时,N点得纵坐标为负值.故,|OM|=e^a+a/(e^a),|ON|=(a-1)*e^a,
那么,t=(|OM|-|0N|)/2=2e^a+a/(e^a)-a*e^a,
t'=e^a-a*e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}
设切点坐标为（m，em）
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em（x-m）
令x=0，解得y=（1-m）em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m（x-m）
令x=0，解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [（2-m）em+me-m]
令t'=0解得：m=1
当m∈（0，1）时，t'＞0，...
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设切点坐标为（m，em）
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em（x-m）
令x=0，解得y=（1-m）em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m（x-m）
令x=0，解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [（2-m）em+me-m]
令t'=0解得：m=1
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0
∴当m=1时t取最大值
1/2 (e+e-1)
故答案为：
1/2(e+e-1)
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