作业帮1.若(1/x)+(4/y)+(9/z)=1,x,y,z都是正整数,则x+y+z最小值为多少2.设x,y,z,w是不全为零的实数,且满足xy+2yz+zw请认真证明，好的话会有追加分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 21:12:53
1.若(1/x)+(4/y)+(9/z)=1,x,y,z都是正整数,则x+y+z最小值为多少2.设x,y,z,w是不全为零的实数,且满足xy+2yz+zw请认真证明，好的话会有追加分
1.若(1/x)+(4/y)+(9/z)=1,x,y,z都是正整数,则x+y+z最小值为多少
2.设x,y,z,w是不全为零的实数,且满足xy+2yz+zw
请认真证明，好的话会有追加分
1.若(1/x)+(4/y)+(9/z)=1,x,y,z都是正整数,则x+y+z最小值为多少2.设x,y,z,w是不全为零的实数,且满足xy+2yz+zw请认真证明，好的话会有追加分
第一问就像lovebeyond0321做的那样,用平均值不等式或者柯西不等式,最小值是36,当x=6,y=12,z=18的时候取得.第二问他做得不对,有一个不等式方向反了.答案应该是(1+√2)/2.
首先验证A=(1+√2)/2时,不等式对任意(x,y,z,w)成立：
2A(x^2+y^2+z^2+w^2)-2(xy+2yz+zw)
=[(1+√2)x^2+(-1+√2)y^2-2xy]+[2y^2+2z^2-4yz]+[(-1+√2)z^2+(1+√2)w^2-2zw]
=(1+√2)[x-(-1+√2)y]^2+2[y-z]^2+(1+√2)[z-(-1+√2)w]^2
>=0
然后,由上述推导可知,当x=w= -1+√2,y=z= 1时,等号成立,即,A不能更小
1. 8
2. 题错了吧！！！（……………………）
有点难。此高手不擅长
1.
(1/x)+(4/y)+(9/z)=1
x+y+z=(x+y+z)*[(1/x)+(4/y)+(9/z)]
=1+4+9+y/x+4x/y+4z/y+9y/z+z/x+9x/z
平均值不等式
>=1+4+9+4+12+6
=36
即(x+y+z)>=36
原不等式得证
或可直接由柯西不等式得到
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1.
(1/x)+(4/y)+(9/z)=1
x+y+z=(x+y+z)*[(1/x)+(4/y)+(9/z)]
=1+4+9+y/x+4x/y+4z/y+9y/z+z/x+9x/z
平均值不等式
>=1+4+9+4+12+6
=36
即(x+y+z)>=36
原不等式得证
或可直接由柯西不等式得到
(x+y+z)(1/x+4/y+9/z)>=(1+2+3)^2=36
2.
xy+2yz+zw<=A(x^2+y^2+z^2+w^2)
A>=(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)
x^2+y^2>=2xy,z^2+w^2>=2zw
A>=(xy+2yz+zw)/(2xy+2zw)
=1/2 + yz/2(xy+zw) (xy+zw>=2√xyzw)
=1/2+ √xyzw/2xy
x，y，z,w是不全为零的实数,那么xyzw=0
A>= 1/2
最小值是1/2
收起