大一高数题一道siny+e的平方-xy的平方=0求dy\dx计算抛物线y的平方＝2x,与直线y＝x-4所围成图形的面积

大一高数题一道siny+e的平方-xy的平方=0求dy\dx计算抛物线y的平方＝2x,与直线y＝x-4所围成图形的面积
大一高数题一道
siny+e的平方-xy的平方=0求dy\dx
计算抛物线y的平方＝2x,与直线y＝x-4所围成图形的面积

大一高数题一道siny+e的平方-xy的平方=0求dy\dx计算抛物线y的平方＝2x,与直线y＝x-4所围成图形的面积
siny+e²-xy²=0, 两边对x求导
(cosy)(dy/dx)-y²-2xy(dy/dx)=0
∴dy/dx=y²/(cosy-2xy)
先求y²=2x, y=x-4的交点得
x=2, y=-2或x=8, y=4
交点为(2, -2)和(8,4)
S=∫∫(D) dxdy 积分域为D: y²/2≤x≤y+4, -2≤y≤4
∴S=∫∫(D) dxdy
=∫(-2→4) dy∫(y²/2→y+4) dx
=∫(-2→4) (y+4-y²/2) dy
=(y²/2+4y-y³/6)|(-2→4)
=(8+16-32/3)-(2-8+4/3)
=18

额，这种题……

哇，这么难啊，不好意思

siny + e^2 - xy^2 = 0
对上式两边分别对x求导有： cosy*dy/dx + 0 - (y^2 - 2xydy/dx) = 0
整理有 dy/dx = y^2/(cosy + 2xy)
抛物线与直线的交点为(2, -2), (8, 4)
根据图像，对dy积分较为方便，
S = ∫(y+4 - y^2/2)dy 积分上限为4，下限为-2
解得S=18