∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2 积分号后面都是a到b 用积分中值怎么证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:55:39
∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2 积分号后面都是a到b 用积分中值怎么证明

∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2 积分号后面都是a到b 用积分中值怎么证明
∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2 积分号后面都是a到b 用积分中值怎么证明

∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2 积分号后面都是a到b 用积分中值怎么证明
本题是许瓦兹不等式,不是用中值定理来证的.
以下所有积分区域均为[a→b]
构造函数g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2(b-a)t + ∫e^-f(x)dx (1)
由于定积分的结果只是一个数字,因此g(t)关于t是一个二次函数,注意到b-a=∫ 1 dx
因此得：g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2t∫ 1 dx + ∫e^-f(x)dx
=∫ [t^2e^f(x)+ 2t + e^-f(x)]dx 注意到被积函数是一个完全平方
=∫ { te^[f(x)/2] + e^[-f(x)/2] }^2 dx
≥0
因此g(t)是一个恒≥0的二次函数,因此判别式Δ≤0
对照（1）式写出判别式：
4(b-a)² - 4∫e^f(x)dx∫e^-f(x)dx ≤ 0
整理后即为：∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2,证毕.
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

∫f(x)dx=F(x)+C,则∫e^-xf(e^-x)dx等于? 设∫f(x)dx=F(x)+c 那么 ∫e^(-x)f(e^(-x))dx咋做? 若∫f(x)dx=F(x)+c,则∫e^x f(2e^x)dx= ∫f(x)dx=f(x)+c 则∫e^-x f(e^-x)dx=____ 求科普 ∫f(x^2)dx的导数是什么?∫f(e^x)dx的导数呢? ∫f(x)dx=sinx+ln(x-1)+C求∫(e^x)f[(e^x)+1]dx f（x）=lnx+∫(1,e)f(x)dx-f '(1) ,求f(x) f（x）=lnx+∫(1,e)f(x)dx-f '(1) ,求f(x) 设dy/dx∫(0,e^-x)f(t)dt=e^x,f(x)=? 若f(x)=e^x+2∫(0 1)f(x)dx 求f(x) ∫（e-e^x)dx 若f(x)=e^x/1+e^x+x∫f(x)dx 求f(x)= 设连续函数f(x)=lnx-∫(1~e)f(x)dx,求f(x) 如果e^(-x)是f(x)的一个原函数,求∫x f(x) dx ∫ f(x)dx=x^2*e^(2x)+c,则f(x)=? ∫f(x)dx=x平方*e的2x次方+c,求f(x) ∫f(x)dx=x^2e^2x+c 求f(x)=? ∫ f(x)dx=x^2乘以e^(2x)+c,则f(x)=?