若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0),被圆x2+y2+2x-4y+1=0,截得的弦长为4,则1/a+1/b的最小值为?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/18 15:43:34
若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0),被圆x2+y2+2x-4y+1=0,截得的弦长为4,则1/a+1/b的最小值为?

若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0),被圆x2+y2+2x-4y+1=0,截得的弦长为4,则1/a+1/b的最小值为?
若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0),被圆x2+y2+2x-4y+1=0,截得的弦长为4,则1/a+1/b的最小值为?

若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0),被圆x2+y2+2x-4y+1=0,截得的弦长为4,则1/a+1/b的最小值为?
圆方程x²+y²+2x-4y+1=0配方得:(x+1)²+(y-2)²=4,可知圆心坐标为(-1,2),半径r=2
又直线被圆截得的弦长为4,其值等于直径长,
所以可知直线过圆心(-1,2)
则可将圆心坐标代入直线方程得:
-2a-2b+2=0
即a+b=1
因为a>0,b>0,所以:
由均值定理可得:a+b≥2√(ab) (当且仅当a=b时取等号)
即 √(ab) ≤1/2
所以ab≤1/4
则当a=b=1/2时,ab有最大值为1/4
又1/a +1/b=(a+b)/(ab)=1/(ab)
所以当a=b=1/2时,1/a +1/b有最小值为4.