三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在地面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2 证明:平面A1AC⊥平面AB1B

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 07:42:55

三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在地面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2 证明:平面A1AC⊥平面AB1B
三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在地面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2 证明:平面A1AC⊥平面AB1B

三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在地面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2 证明:平面A1AC⊥平面AB1B
证明：
∵ AC⊥AB ,A1B1//AB
∴ AC⊥A1B1（1）
∵ 顶点A1在地面ABC上的射影恰为点B
∴ A1B⊥平面ABC
∴ A1B⊥AC （2）
由（1）（2）
AC⊥平面AB1B
又∵ AC在平面A1AC内
∴ 平面A1AC⊥平面AB1B

三棱锥ABC-A1B1C1中，AB垂直AC,顶点A1在底面ABC上的射影恰好为B点，且AB答案2根号下5/5. 报纸20-5. 21

全部展开

（1）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，得到A1C1⊥A1B1，因为顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，得到A1B⊥AC，利用线面垂直的判断定理得到证明．
（2）建立空间直角坐标系，求出 AA1→=(0，2，2)， BC→=B1C1→=(2，-2，0)，利用向量的数量积公式求出棱AA1与BC所成的角的大小；
（3）利用已知条件AP= 14求出p的坐标，求出平面P-AB-A1的法向量为 n1→，而平面ABA1的法向量 n2→=（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值．（1）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，
所以A1C1⊥A1B1
因为顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，
所以A1B⊥AC
所以A1B⊥A1C1
所以A1C1⊥平面ABA1B1（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则C（2，0，0），B（02，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），
所以 AA1→=(0，2，2)， BC→=B1C1→=(2，-2，0)．
所以 cos＜AA1→，BC→＞=AA1→•BC→|AA1→||BC→|=-12，
故AA1与棱BC所成的角是 π3．
（3）设 B1P→=λB1C1→=(2λ，-2λ，0)，则P（2λ，4-2λ，2）．
于是 AP=4λ2+(4-2λ)2+4=14，
解得 λ=12
则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）．
设x，y，z），
则 {x+3y+2z=02y=0
令z=1故 n1→=(-2，0，1)
而平面ABA1的法向量 n2→=（1，0，0），
则 |cos＜n1→，n2→＞|= |n1→•n2→|n1→||n2→||=255
故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是 255．
把原题整个都提上来了……O(∩_∩)O~

收起