作业帮点P(x,y)在圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0上运动,点A(2,2)、B(2,-2)是平面上两点,求向量AP乘向量BP的最值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 23:11:17
点P(x,y)在圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0上运动,点A(2,2)、B(2,-2)是平面上两点,求向量AP乘向量BP的最值
点P(x,y)在圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0上运动,点A(2,2)、B(2,-2)是平面上两点,求向量AP乘向量BP的最值
点P(x,y)在圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0上运动,点A(2,2)、B(2,-2)是平面上两点,求向量AP乘向量BP的最值
(x-1)^2+(y-1)^2=1
用参数式
x=1+cost,y=1+sint
AP=P坐标-A坐标=(-1+cost,-1+sint)
BP=(-1+cost,3+sint)
AP*BP
=(-1+cost)^2+(-1+sint)(3+sint)
=cos^2t-2cost+1+sin^2t+2sint-3
=2(sint-cost)-1 （sin^2 t+cos^2t=1）
用辅助角
=(2根号2)sin (t-45°)-1
最大值为2根号2-1,此时P=(-1-根号2/2,-1+根号2/2) (t=135°)
最小值为-2根号2-1,此时P=(-1+根号2/2,-1-根号2/2) (t=315°)
求向量的最值 即就是当两个向量垂直时成绩最大
分析题目可知 p在以（1，1）为圆心，1为半径的圆上。AB垂直于x轴，且距离x轴的距离均为二，我们知道圆有一个性质，圆上任意一点与直径组成的三角形是直角三角形，因此我们取（2，0）点为圆心，2为半径作圆，会发现与已知圆相交于（0，1）点，即就是所求的p点，据此算出距离即可得出最值...
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求向量的最值 即就是当两个向量垂直时成绩最大
分析题目可知 p在以（1，1）为圆心，1为半径的圆上。AB垂直于x轴，且距离x轴的距离均为二，我们知道圆有一个性质，圆上任意一点与直径组成的三角形是直角三角形，因此我们取（2，0）点为圆心，2为半径作圆，会发现与已知圆相交于（0，1）点，即就是所求的p点，据此算出距离即可得出最值
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参数方程：
x=1+cosA
y=1+sinA
AP=（1+cosA-2，1+sinA-2）=（cosA-1，sinA-1）
BP=（1+cosA-2，1+sinA+2）=（cosA-1，sinA+3）
AP*BP=（cosA-1）^2+(sinA-1）(sinA+3）=2sinA-2cosA-2=2*2^(1/2)sin(A-45)-2
最小-2*2^(1/2)-2
最大2*2^(1/2)-2