如图,已知正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠EBC交DC于点F.求证：BE=AE+CF

如图,已知正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠EBC交DC于点F.求证：BE=AE+CF
如图,已知正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠EBC交DC于点F.求证：BE=AE+CF

如图,已知正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠EBC交DC于点F.求证：BE=AE+CF

延长DA至G使AG=CF
又因为AB=CB, 角BAG=角BCF=90
所以三角形AGB全等于三角形CFB
所以GE=GA+AE=AE+CF
而角G=角BFC=角ABF=角ABE+角EBF
=角ABE+角FBC
=角ABE+角GBA=角GBE
所以GE=BE
所以BE=AE+CF

如上图 以B为旋转中心 旋转BFC，使得BC与BA重合 那么 ∠1=∠4 CF=AF' ∠F'=∠BFC

因为 BF平分∠EBC 所以 ∠4+∠3=∠1+∠3=90-∠2=90-∠1=∠BFC=∠F'

所以三角形F'EB是等腰三角形，所以BE=F'E=AF'+AE=CF+AE