如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.（1）求证：四边形ECDI是正方形；（2）当CA=8,CB=15时,求ID的长

如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.（1）求证：四边形ECDI是正方形；（2）当CA=8,CB=15时,求ID的长
如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.
（1）求证：四边形ECDI是正方形；（2）当CA=8,CB=15时,求ID的长

如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.（1）求证：四边形ECDI是正方形；（2）当CA=8,CB=15时,求ID的长
(1)证明：
由于ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F；
∠ACB=90°；
可知四边形ECDI为矩形；
又ID=IE=IF；
邻边相等的矩形为正方形,或者说由矩形邻边相等可以推出四边都相等.
证毕.
设ID=X；
CA=8,CB=15,可知AB=17(勾股定理)；
又AE=8-X,BD=15-X；
连接AI,BI
可知：AI=√(8-X)^2+X^2,BI=√(15-X)^2+X^2
同样可得：AF=8-X,BF=15-X
AF+BF=23-2X=17
可得X=3
解毕.
其实可以有更好的辅助线法,不过这边不好上传,按代数法解,可以实现,

(1)因为,=∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E所以四边形ECDI是矩形。又因为ID=IE，所以四边形ECDI是正方形
（2）因为ID=IF，ID⊥CB于D，IF⊥AB于F。所以BI平分角ABC。所以BD=BF,设ID=x,则BD=BF=15-x.同理AF=AE=8-x.又由勾股定理可知AB=17，所以AF+BF=17即8-x+15-x=17所以x=3,即ID=3

四边形ECDI中三个直角，所以角DIE是直角，又因为ID=IE，所以（1）成立
因为三个垂直且相等，所以I是ABC的内切圆圆心，所以AE=AF,BF=BD,CD=CE,
AB=17，设ID为x，CA-X+CB-X=AB,所以ID=3