∫r^5*√（a²-r²）dr这个积分怎么算的

∫r^5*√（a²-r²）dr这个积分怎么算的
∫r^5*√（a²-r²）dr这个积分怎么算的

∫r^5*√（a²-r²）dr这个积分怎么算的
用三角代换,设r=a*sin(t),被积函数变为a^5*[sin(t)]^5*cos(t)
∫r^5*√（a²-r²）dr=a^5∫[sin(t)]^5d(sin(t))

作代换：r=asinx，dr=acosxdx
∫r^5*√（a²-r²）dr=∫a^5*(sinx)^5*acosx*acosxdx=a^7∫(sinx)^5*(cosx)^2dx
=a^7∫((sinx)^5-(sinx)^7)dx=a^7{∫(sinx)^6dcosx-∫(sinx)^4dcosx}
...

全部展开

作代换：r=asinx，dr=acosxdx
∫r^5*√（a²-r²）dr=∫a^5*(sinx)^5*acosx*acosxdx=a^7∫(sinx)^5*(cosx)^2dx
=a^7∫((sinx)^5-(sinx)^7)dx=a^7{∫(sinx)^6dcosx-∫(sinx)^4dcosx}
=a^7{∫(1-cosx^2)^3dcosx-∫(1-cosx^2)^2dcosx}
后面把平方和立方展开就可以求了

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