若a,b,c＞0 求证：a^3/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b)≥1/2(ab+bc+ca)

若a,b,c＞0 求证：a^3/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b)≥1/2(ab+bc+ca)
若a,b,c＞0 求证：
a^3/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b)≥1/2(ab+bc+ca)

若a,b,c＞0 求证：a^3/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b)≥1/2(ab+bc+ca)
这里先假设a≥b≥c>0,则a^2/(b+c)≥b^2/(c+a)≥c^2/(a+b)
再在下面运算中用两次排序不等式就行了
a^3/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b)
=a×a^2/(b+c)+b×b^2/(c+a)+c×c^2/(a+b)
=1/2[a×a^2/(b+c)+b×b^2/(c+a)+c×c^2/(a+b)+a×a^2/(b+c)+b×b^2/(c+a)+c×c^2/(a+b)]
≥1/2[a×b^2/(c+a)+b×c^2/(a+b)+c×a^2/(b+c)+a×c^2/(a+b)+b×a^2/(b+c)+c×b^2/(c+a)]
=1/2(a^2+b^2+c^2)
≥1/2(ab+bc+ca)
两次不等式的缩放都在a=b=c的时候取到等号

运用的是基本不等式

收起

a-c-27/[(b-a)(b-c)]
=a-c+27/[(a-b)(b-c)]
=a-b+b-c+27/[(a-b)(b-c)]
>=3开3方（(a-b)*(b-c)*27/(b-c)*(a-b)）
=3*3=9
希望可以帮到你哦 谢谢采纳~~

Cauchy不等式
[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)] [a^3/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b)]≥(a^2+b^2+c^2)^2
只需证明：
(a^2+b^2+c^2)^2/[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]≥1/2(ab+bc+ca)
只需证明：
(a^2+b^2+c^2)^2≥(ab+bc+ca)^2
只需证明：
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0
显然