计算定积分：∫(0,π)x[(sinx)^m]dx=其中m为自然数,0是下限,π是上限

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 09:12:11

计算定积分：∫(0,π)x[(sinx)^m]dx=其中m为自然数,0是下限,π是上限
计算定积分：∫(0,π)x[(sinx)^m]dx=
其中m为自然数,0是下限,π是上限

计算定积分：∫(0,π)x[(sinx)^m]dx=其中m为自然数,0是下限,π是上限
Im=∫[0,π]x(sinx)^mdx
=∫[0,π]x(sinx)^(m-1)d(-cosx)
=-cosx*x(sinx)^(m-1)|[0,π]+∫[0,π]cosxdx(sinx)^(m-1)
=∫[0,π]cosx*sinx^(m-1)dx+(m-1)∫[0,π]x(cosx)^2(sinx)^(m-2)dx
=∫[0,π]sinx^(m-1)dsinx +(m-1)∫[0,π]x(1-sinx)^2(sinx)^(m-2)dx
=(m-1)∫[0,π]x(sinx)^(m-2)dx+(m-1)Im
=(m-1)Im-2+(m-1)Im
Im=[(m-1)/m]Im-2
I0=∫[0,π]xdx=π^2/2
I1=∫[0,π]xsinxdx=∫[0,π]xd(-cosx)=x*(-cosx)|[0,π] +∫[0,π]cosxdx=π
I2=∫[0,π]x(sinx^2)dx=∫[0,π]xsinxd(-cosx)=∫[0,π]cosxd(xsinx)=∫[0,π]sinxdsinx+∫[0,π]x(cosx)^2dx
=∫[0,π]xdx-∫[0,π]xsinx^2dx
2∫[0,π]x(sinx)^2dx=π^2/2
I2=∫[0,π]x(sinx)^2dx=π^2/4
I3=[(3-1)/3]I1=(2/3)π
I(2n)=[(1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..*2n)] (π^2/2)
I(2n-1)=[(2*4*..*(2n-2))/(1*3*5*..*(2n-1))] π
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