作业帮已知四边形ABCD中AB=BC∠ABC=120°∠MBN=60°∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC或它们的延长线于E.F 当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:19:23
已知四边形ABCD中AB=BC∠ABC=120°∠MBN=60°∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC或它们的延长线于E.F 当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种
已知四边形ABCD中AB=BC∠ABC=120°∠MBN=60°∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC或它们的延长线于E.F
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明；若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明．
已知四边形ABCD中AB=BC∠ABC=120°∠MBN=60°∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC或它们的延长线于E.F 当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种
(1).当AE=CF时,由AB=BC,∠BAE=∠BCF,由全等三角形边角边定理（有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,SAS）,可知△BAE≌△BCF.则∠ABE=∠CBF.
又∠ABC=120°,∠EBF=60°,∠ABE+∠CBF+∠EBF=∠ABC,可知∠ABE=∠CBF=（120°-60°）/2=30°
△BAE为直角三角形,且一顶角为30度,因此AE=BE/2.同理CF=BF/2.
由三角形全等又知BE=BF,加上角EBF为60度,可知△BEF为等边三角形.BE=BF=EF.
因此EF=AE+BF.
(2)若AE不等于CF,由勾股定理
BA^2+AE^2=BE^2
BC^2+CF^2=BF^2
由三角形边长公式,对三角形BEF来说
EF^2=BE^2+BF^2-2*BE*BF*cos∠EBF
=BA^2+AE^2+BC^2+CF^2-2*√(BA^2+AE^2)*√(BC^2+CF^2)*√3/2
=2AB^2+AE^2CF^2-√[3*(AB^2+AE^2)(AB^2+CF^2)] （1）
还有一个公式,是
tan∠ABE=AE/AB; tan∠CBF=CF/BC; ∠ABE+∠CBF=60°
由公式tan(a+b) =(tana+tanb)/(1-tana*tanb) 得
tan60°=(AE/AB+CF/AB)/(1-AE*CF/AB^2)
√3=[(AE+CF)/AB]/[(AB^2-AE*CF)/AB^2]
√3(AB^2-AE*CF)=(AE+CF)*AB
化简
√3AB^2-(AE+CF)*AB-AE*CF=0
可得出AB与AE和CF的关系,代入（1）号消去AB,即可得EF与AE,CF的通式.