求方程y''-2y'+y=e^t满足初始条件下,y(0)=0和y'(0)=0的解

求方程y''-2y'+y=e^t满足初始条件下,y(0)=0和y'(0)=0的解
求方程y''-2y'+y=e^t满足初始条件下,y(0)=0和y'(0)=0的解

求方程y''-2y'+y=e^t满足初始条件下,y(0)=0和y'(0)=0的解
y''-2y'+y=e^t
特征方程
r^2-2r+1=0
r=1
因此其齐次通解为y=(C1+C2t)e^t
设其特解为y=at^2e^t
y'=2ate^t+at^2e^t
y''=2ae^t+2ate^t+2ate^t+at^2e^t=2ae^t+4ate^t+at^2e^t
代入原方程得
2ae^t+4ate^t+at^2e^t-2(2ate^t+at^2e^t)+at^2e^t=e^t
a=1/2
所以特解是y=1/2t^2e^t
方程的解是y=(C1+C2t)e^t＋1/2t^2e^t
y(0)=0代入得
0＝C1
y=C2te^t＋1/2t^2e^t
y'=C2e^t+C2te^t+2te^t+1/2t^2e^t
y'(0)=0代入得
0=C2
因此y=1/2t^2e^t

y''-2y'+y=e^t
1。求y''-2y'+y=0的通解Y
r^2-2r+1=0
r1=r2=1
Y=(c1+c2t)e^t
2。求y''-2y'+y=e^t的一个特解
可以设特解形式为：y*=at^2*e^t
y*'=2at*e^t+at^2*e^t
y*''=2a*e^t+4at*e^t+at^2*e^t
所以

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y''-2y'+y=e^t
1。求y''-2y'+y=0的通解Y
r^2-2r+1=0
r1=r2=1
Y=(c1+c2t)e^t
2。求y''-2y'+y=e^t的一个特解
可以设特解形式为：y*=at^2*e^t
y*'=2at*e^t+at^2*e^t
y*''=2a*e^t+4at*e^t+at^2*e^t
所以
2a=1,a=1/2
y*=1/2*t^2*e^t
通解y=Y+y*=(c1+c2t)e^t+1/2*t^2*e^t
y'=(c1+c2+c2t)e^t+(t+1/2*t^2)*e^t
y(0)=0和y'(0)=0
0=c1,0=c1+c2
c1=c2=0
特y=1/2*t^2*e^t

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