通项an=(2*3^n +2)/(3^n -1)设m,n,p属于N*问数列{an}中是否存在am,an,ap,使数列am,an,ap为等差数列

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 14:07:49
通项an=(2*3^n +2)/(3^n -1)设m,n,p属于N*问数列{an}中是否存在am,an,ap,使数列am,an,ap为等差数列

通项an=(2*3^n +2)/(3^n -1)设m,n,p属于N*问数列{an}中是否存在am,an,ap,使数列am,an,ap为等差数列
通项an=(2*3^n +2)/(3^n -1)设m,n,p属于N*问数列{an}中是否存在am,an,ap,使数列am,an,ap为等差数列

通项an=(2*3^n +2)/(3^n -1)设m,n,p属于N*问数列{an}中是否存在am,an,ap,使数列am,an,ap为等差数列
假设存在这样的m,n,p(m<n<p)满足题意.
把分子分离参量,整理化简得:则1/(3^m-1)+1/(3^p-1)=2/(3^n-1)
通分化简:
即3^(n+p)+3^(n+m)+3^m+3^p=2(3^n+3^(m+p))
即3^(n+p-m)+3^n+3^(p-m)+1=2(3^(n-m)+3^p)
即3^(n+p-m-1)+3^(n-1)+3^(p-m-1)-2*3^(n-m-1)-2*3^(p-1)=-1/3 .(*)
因为m,n,p属于正整数,且m<n<p,
故n+p-m-1、n-1、p-m-1、n-m-1、p-1均为大于等于0的整数,
也即 (*)式左边为整数,而右边=-1/3不为整数.
所以(*)式不成立,与假设矛盾.
所以不存在三项am,an,ap,使得数列am,an,ap是等差数列.

证明:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则 ap=a1·qp-1,aq=a1因为p q=m n 所以(p q-2)=(m n-2) 所以a^2*r(p q-2)=a^2

ap=(2*3^p +2)/(3^p -1) am=(2*3^m +2)/(3^m -1) an=(2*3^n +2)/(3^n -1)
计算ap+am 通分 与an比较 即可 得 不存在