已知x,y是正实数,且xy-x-y=1,求证x+y≥2+√2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/26 04:20:19

已知x,y是正实数,且xy-x-y=1,求证x+y≥2+√2
已知x,y是正实数,且xy-x-y=1,求证x+y≥2+√2

已知x,y是正实数,且xy-x-y=1,求证x+y≥2+√2
x>0,y>0
根据基本不等式:
x+y≥2√(xy)
∴xy-x-y=xy-(x+y)=1≤xy-2√(xy)
∴xy-2√(xy)≥1
xy-2√(xy)-1≥0
令√(xy)=t （t≥0）
解得:
√(xy)≤1-√2(舍去)
√(xy)≥1+√2
∴xy≥(1+√2)^2
=3+2√2
∵x+y=xy-1
∴x+y≥2+2√2
也可以先从x+y考虑
xy-(x+y)=1≤(x+y)^2/4-(x+y)
∴(x+y)^2/4-(x+y)≥1
∴(x+y)^2-4(x+y)-4≥0
解得:
x+y≥2+2√2
综上所述
x+y的取值范围是:x+y≥2+2√2

xy-x-y=1
即xy=x+y+1
又xy<=(x+y)^2/4
设t=x+y>0
即有:t+1<=t^2/4
t^2>=4t+4
t^2-4t+4>=8
(t-2)^2>=8
t-2>=2根号2或t-2<=-2根号2.(舍)
故有:x+y>=2+2根号2

已知x,y是正实数,且xy-x-y=1,求证x+y≥2+√2 已知xy是正实数,且xy-x-y=1,求证x+y》2+2根号下2 已知x,y是正实数且x/2+y/3=1,则xy的最大值是? 已知X,y是正实数,且xy-x-y=1,求证x+y>/2+2√2>/是大于和等于高一不等式证明已知xy都是正实数,且X+Y>2,求证1+X/Y 已知实数xy满足x/y=x-y,且y>1,则实数x的取值范围是已知x,y属于正实数且x+2y=1 求证xy小于等于1/8 已知x、y属于正实数,且x+4y=1,则xy的最大值为? 已知xy都是正实数且满足4x²+4xy+y²+2x+y-6=0则x（1-y）的最小值已知x,y都是正实数且1/2xy-y-x=6 求x+y与xy的取值范围已知X、Y为正实数,且2X+8Y-XY=0,求X+Y的最小值. 已知x.y为正实数,且2x+8y-xy=0.求x+y的最小值, 已知x、y为正实数,且x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值. 已知x、y 为正实数且2x+4y-xy=0 求x+y的最小值已知X ,Y都是正实数,且X+ Y- 3XY+5=0 求X+ Y的最小值已知X,y都是正实数,且 x+ y- 3xy+5=0 ,求x+ y的最小值已知实数x,y满足xy+1=4x+y,若x,y为正实数,则xy的取值范围是? 已知x,y是正实数,且xy=1,求函数f(x)=(x+y)/([x]*[y]+[x]+[y])的值域.[x]表示x的整数部分.