数学归纳法证不等式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 22:59:55
数学归纳法证不等式

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数学归纳法证不等式

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一楼很强大
放缩的题竟然能用数学归纳法做
我来告诉你我的方法
因为均值不等式有(x+y)(1/x+1/y)>=4
所以1/x+1/y>=4/(x+y)
联系这道题
我们可以设
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
以上两式把下面式子的顺序倒过来
S=...

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一楼很强大
放缩的题竟然能用数学归纳法做
我来告诉你我的方法
因为均值不等式有(x+y)(1/x+1/y)>=4
所以1/x+1/y>=4/(x+y)
联系这道题
我们可以设
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
以上两式把下面式子的顺序倒过来
S=1/2n+1/(2n-1)+...+1/(n+1)
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
所以上下两项分母的和为3n+2由1/x+1/y>=4/(x+y) 所以>=4/3n+2 因为有n项
所以2S>=4n/(3n+2)
所以S>2n/(3n+2)现在只要证明
2n/(3n+1)>13/24
即证9n>13 因为n>1所以成立
随便罗嗦一句,你如果好好的研究不等式的证明,你会发现。如果证明
f(n)>g(n)一般是数学归纳法,证明f(n)>常数
一定是放缩

收起

设n=k时它成立, 当n=k+1时
1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k)+1/(2k+2)
= 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) + 1/(2k+2) - 1/(k+1)
= 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) + (-1/2)(1/(k+1))
因为k>0 所以 (-1/2)(1...

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设n=k时它成立, 当n=k+1时
1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k)+1/(2k+2)
= 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) + 1/(2k+2) - 1/(k+1)
= 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) + (-1/2)(1/(k+1))
因为k>0 所以 (-1/2)(1/(k+1))<0
所以
> 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) > 13/24 成立.
当n=2时, 1/(2+1)+1/(2+2)=1/3+1/4 = 7/12 > 13/24.
所以当n为大于1的自然数的时候, 不等式成立

收起

由于题目给条件n>1,
所以可先设n=2求左边,
因为n=2所以前2项求出的值大于13/24,那么左=右等式成立。
然后假设n=k(k大于1)等式成立,则
1/k+1+1/k+2+...+1/2k>13/24
那么当n=k+1时:
1/k+2+1/k+3+...+1/2k+1/2k+1>13/24+1/2k+1化简就可以了