若a,b属于一切正实数,且a+b=1,求a(b+1/2)的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 18:46:36
若a,b属于一切正实数,且a+b=1,求a(b+1/2)的最大值

若a,b属于一切正实数,且a+b=1,求a(b+1/2)的最大值
若a,b属于一切正实数,且a+b=1,求a(b+1/2)的最大值

若a,b属于一切正实数,且a+b=1,求a(b+1/2)的最大值
∵a>0,b>0,∴b+1/2>0.∴[a+(b+1/2)]/2≥[a.(b+1/2)]½.即a(b+1/2)≤{[a+b+1/2]/2}²={[(a+b)+1/2]}²={[1+1/2]/2}²={3/4}²=9/16.
此类题用均值定理解答较为便捷.即:算数平均数不小于几何平均数,倒过来用就是几何平均数不大于算术平均数.
均值定理是:若a>0,b>0,则(a+b)/2≥(a+b)½.反过来也成立.

由题意,b=1-a
原式=a(1-a+1/2)
=a(3/2-a)
=-a^2+3a/2
=-a^2+3a/2-(3/4)^2+(3/4)^2
=-(a-3/4)^2+9/16
<=9/16
当a=3/4,b=1/4时,取到等号