如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E 是BC的中点,F是对角线BD上的一个动点,请你求出EF+FC的最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/24 20:58:21

如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E 是BC的中点,F是对角线BD上的一个动点,请你求出EF+FC的最小值
如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E 是BC的中点,F是对角线BD上的一个动点,请你求出EF+FC的最小值

如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E 是BC的中点,F是对角线BD上的一个动点,请你求出EF+FC的最小值
如图,以菱形ABCD对角线交点为原点O,以BD为x轴建立坐标系
∵∠ABC=60°,AB=2,∴△ABC为等边△,AC=BC=AB=2
易知：AO=OC＝AC/2=1,BO=OD=√（4－1）＝√3（根号3）
可得B、E、C的坐标为B(-√3,0),E（-√3/2,-1/2）,C（0,-1）
令F点的坐标为F（x,y）,则：
FE ＾2 =(x+√3/2）＾2+（y+1/2）＾2；FC ＾2 =(x-0）＾2+（y+1）＾2
FE ＾2 +FC ＾2=(x+√3/2）＾2+（y+1/2）＾2+x＾2+（y+1）＾2=2x＾2+√3x+2y＾2+3y+2
＝（√2x+√3/ √8）＾2-3/8+（√2y+3/√8）＾2-9/8+2
=（√2x+√3/ √8）＾2+（√2y+3/√8）＾2+1/2
可见,当x＝-√3/ 4,y＝-3/4时,FE ＾2 +FC ＾2有最小值1/2,易知,EF+FC亦有最小值,
故把x＝-√3/ 4,y＝-3/4代入前式整理后可得：
EF+FC＝1/2+√3/ 2=(1+√3）/ 2

应该是当FE⊥BC时为最小，
当FE⊥BC时，BE=CE, 所以△BFC为等腰三角形，FC=BF
∠CBF=1/2*∠ABC=1/2*60°=30°,
所以FC=BF=2EF
在直角三角形BEF中，BF^2-EF^2=BE^2
BE=1/2BC=1/2AB=1/2*2=1
则（2EF)^2-EF^2=1
解之得EF=√3/3
则FC=2√3/3
EF+FC=√3/3+2√3/3=√3

如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,较短的对角线AC=8cm,求菱形的周长和面积? 再菱形ABCD中,AB=4CM,∠ABC=60°,求菱形面积如图,菱形abcd的周长为20cm,∠abc=60°,求对角线bd的长和菱形abcd的面积如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E是BC的中点,F是对角线BD 如图菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知∠ABC=60°,AB=2 求AO:BO 在菱形ABCD中,AC和BD相交于点O,∠ABC=120°,AB=26,则菱形ABCD的面积为_______________如题如图,菱形ABCD中,周长为16cm,角ABC=60度求菱形ABCD两对边间的距离如图菱形ABCD,∠ABC=120°,求止AC=√2BD 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BD,PA的中点,PA=AB=2 如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,四边形EBCF是平行四边形,D为AC中点,求证:四边形ABCD是菱形.只求方法, 如图,菱形ABCD中,角ABC=2角C,BD=10cm,则菱形的周长为在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,BD的长? 在菱形ABCD中,若∠ABC=60°,则BD：AC的值等于已知,如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B.求证:△ABC是等边三角形已知：如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,求证：三角形ABC是等边三角形已知如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B求证三角形ABC是等边三角形如图,在菱形ABCD中,AB=a,∠ABC=α,将菱形ABCD绕点B顺时针旋转（旋转角＜90°）,点A,C,D分别落在A',如图,在菱形ABCD中,AB=a,∠ABC=α,将菱形ABCD绕点B顺时针旋转（旋转角＜90°）,点A,C,D分别落在A',B' 如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC如图,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG、PC,若∠ABC=∠BEF=60°,则PG/PC=()A √2 B