证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 23:40:16
证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n

证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n
证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n

证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n
先证明 对于任意x≠0,1+xf(0)=1>0,即1+x

因e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=1-e^-n/1-e^-1<1/1-e^-1=e/(e-1),用到了等比数列求和

只需证明::(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+......+(n/n)^n<e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1

即(n-i/n)^n<e^-i,i=1,2……n-1,即(1-i/n)<e^(-i/n),i=1,2……n-1①

对于任意x∈R,都有ex-x≥1,即1+x≤ex.(f(x)=e^x-x,f′(x)=ex-1

令f'(x)>0,解得x>0;令f′(x)<0,解得x<0.从而f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
所以,当x=0时,f(x)取得最小值1)

 

当x=-i/n时,①成立,故原不等式成立。