作业帮在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.求证:(a^2-b^2)/c^2=sin(A-B)/sinC.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/18 12:15:05
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.求证:(a^2-b^2)/c^2=sin(A-B)/sinC.
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.求证:(a^2-b^2)/c^2=sin(A-B)/sinC.
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.求证:(a^2-b^2)/c^2=sin(A-B)/sinC.
因为 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r (r是三角形外接圆半径)
所以 a=2rsinA,b=2rsinB,c=2rsinC
代入,等式左边＝[(sinA)^2-(sinB)^2]/(sinC)^2
＝(sinA+sinB)(sinA-sinB)/(sinC)^2 （平方差公式因式分解）
＝[2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)][2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2)]/(sinC)^2 （和差化积）
＝[2cos(C/2)cos((A-B)/2)][2sin((A-B)/2)sin(C/2)]/(sinC)^2 （利用了A＋B＝180－C）
＝[2cos(C/2)sin(C/2)][2sin((A-B)/2)cos((A-B)/2)]/(sinC)^2 （移项）
＝(sinC)sin(A-B)/(sinC)^2 （两倍角公式）
＝sin(A-B)/sinC （约分）
＝右边
根据正弦定理，得
ab*sinC/2=bc*sinA/2
a/c=sinA/sinC
a^2/c^2=sin^2A/sin^2C
（a^2-b^2）/c^2=(sin^2A-sin^2B)/sin^2C
∵cos2A=1-2sin^2A
sin^2A=(1-cos2A)/2
cos2B-cos2A=-2sin(A+B)*sin(...
全部展开
根据正弦定理，得
ab*sinC/2=bc*sinA/2
a/c=sinA/sinC
a^2/c^2=sin^2A/sin^2C
（a^2-b^2）/c^2=(sin^2A-sin^2B)/sin^2C
∵cos2A=1-2sin^2A
sin^2A=(1-cos2A)/2
cos2B-cos2A=-2sin(A+B)*sin(A-B)
sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)
∴sin(A+B)/sinC=1
上方程两边*sin(A-B)/sinC，得
2sin(A+B)*sin(A-B)/(2sin^2C)=sin(A-B)/sinC
-(cos2A-cos2B)/(2sin^2C)=sin(A-B)/sinC
(sin^2A-sin^2B)/sin^2C=sin(A-B)/sinC
（a^2-b^2）/c^2=sin(A-B)/sinC
收起
你用余弦定律