已知直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k属于R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知圆O:x²+y²=1,直线l:mx+ny=1.试证明当点P(m,n)在椭

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/26 07:37:58

已知直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k属于R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知圆O:x²+y²=1,直线l:mx+ny=1.试证明当点P(m,n)在椭
已知直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k属于R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知圆O:x²+y²=1,直线l:mx+ny=1.试证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.

已知直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k属于R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知圆O:x²+y²=1,直线l:mx+ny=1.试证明当点P(m,n)在椭
可以知道该直线过定点（3,0）,是椭圆的一个焦点.又知道椭圆上的点到该点的最大距离是8,那么可以确定椭圆与x轴的焦点为（5,0）和（-5,0）.从而可以确定椭圆的方程.
可以知道m,n满足直线mx+ny=1和椭圆C.列一方程组.
圆的中心到直线mx+ny=1的距离d=1/根号（m方+n方）
根据方程组验证d恒大于等于1.
这是基本思路.具体步骤自己写吧

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(1)直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0整理得：（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0
则直线过x-2y-3=0和4x+3y-12=0的交点F（3，0），所以c=3；由椭圆C上的点到点F的最大距离为8得a+c=8，所以a=5；再由c²+b²=a²得b²=16，所以椭圆C的标准方程为x²/25+y²/16=1.
第2问想完了再答复，等等！
（2）由圆的中心（0，0）到直线mx+ny=1的距离d=1/根号（m^2+n^2），把P(m,n)代入x²/25+y²/16=1得m²/25+n²/16=1，则m²+n²>1,所以d<1,即直线l与圆O恒相交。点P(m,n)在椭圆C上运动时，m²+n²的最大值是25最小值是16，则d的范围是[1/4,1/5],由半弦长、半径、圆心距的关系得弦长的取值范围为[根号15/2,4倍根号6/5]

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很久没接触了，问老师吧。因为网络上并不好说明

(1).由题意得：直线过点（3，0）
所以椭圆C的一个焦点F为（3，0）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
又因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8
所以a+c=8
又因为c=3
所以a=5 b=4
椭圆方程为x^2/25+y^2/16=1
(2).因为点P(m,...

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(1).由题意得：直线过点（3，0）
所以椭圆C的一个焦点F为（3，0）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
又因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8
所以a+c=8
又因为c=3
所以a=5 b=4
椭圆方程为x^2/25+y^2/16=1
(2).因为点P(m,n)在椭圆C上运动，
所以m^2/25+n^2/16=1
当n=0时，直线l为x=1/m
m<=-0.2或m>=0.2
与圆有交点
当m=0时，同理
当m,n都不等于0时，
x^2+[(1-mx)/n]^2=1
b^2-4ac>=0
所以直线l与圆O恒相交
弦长范围[0，2]

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(1).由题意得：直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0
整理得：（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0
则直线过x-2y-3=0和4x+3y-12=0的交点F（3，0）
直线过点（3，0）
所以椭圆C的一个焦点F为（3，0）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
又因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8
所以a+c=8
又因为c=3
所以a=5 b=4
椭圆方程为x^2/25+y^2/16=1
(2).由圆的中心（0，0）到直线mx+ny=1的距离d=1/根号（m^2+n^2），
把P(m,n)代入x²/25+y²/16=1
得m²/25+n²/16=1，
则m²+n²>1,
所以d<1,即直线l与圆O恒相交。
点P(m,n)在椭圆C上运动时，m²+n²的最大值是25最小值是16，
则d的范围是[1/4,1/5],
由半弦长、半径、圆心距的关系
得弦长的取值范围为[根号15/2,4倍根号6/5]

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